Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{e^x}，x≤-1\\ \frac{x}{e}，x＞-1\end{array}$，关于x的方程f²（x）+t|f（x）|+1=0（t∈R）有四个不同的实数根，则t的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-$\frac{{e}^{2}+1}{e}$）
• B． （$\frac{{e}^{2}+1}{e}$，+∞）
• C． $（-\frac{{{e^2}+1}}{e}，-2）$
• D． $（2，\frac{{{e^2}+1}}{e}）$

Answer 1

分析 |f（x）|在（-∞，-1]和[0，+∞）上单调递增，则[-1，0]单调递减．令|f（x）|=m，由y=|f（x）|的图象可知：当m=0，或m＞$\frac{1}{e}$时，|f（x）|=m有1解；当0＜m＜$\frac{1}{e}$时，|f（x）|=m有3解；当m=$\frac{1}{e}$时，|f（x）|=m有两解．故方程f²（x）+t|f（x）|+1=0有四个不同的实数根，则|f（x）|的两个值必须一个在（0，$\frac{1}{e}$）内，一个在（$\frac{1}{e}$，+∞）内．然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解t的取值范围．

解答
|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}．x≤-1}\\{\frac{|x|}{e}，x＞-1}\end{array}\right.$在（-∞，-1]和[0，+∞）上单调递增，则[-1，0]单调递减．
令|f（x）|=m，由y=|f（x）|的图象可知：
当m=0，或m＞$\frac{1}{e}$时，|f（x）|=m有1解；当0＜m＜$\frac{1}{e}$时，|f（x）|=m有3解；当m=$\frac{1}{e}$时，|f（x）|=m有两解．
故方程f²（x）+t|f（x）|+1=0有四个不同的实数根，则|f（x）|的两个值必须一个在（0，$\frac{1}{e}$）内，一个在（$\frac{1}{e}$，+∞）内．
即方程m²+tm+1=0有两个不等的实根m₁，m₂，且${m}_{1}∈（0，\frac{1}{e}），{m}_{2}∈（\frac{1}{e}，+∞）$
令g（m）=m²+tm+1
∵g（0）=1＞0
∴只需g（$\frac{1}{e}$）＜0，即$\frac{1}{{e}^{2}}+\frac{t}{e}+1＜0$，得t＜$-\frac{{e}^{2}+1}{e}$
即t的取值范围为$（-∞，-\frac{{e}^{2}+1}{e}）$，故选A

点评 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，分段函数的图象及性质以及学生综合利用函数知识分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f²（x）+t|f（x）|+1=0有四个不同的实数根时|f（x）|的取值情况，此题属于中高档题．