Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=0，其前n项和S_n满足${S_n}=n{a_n}+\frac{1}{2}n（{n-1}）$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_n}=\left\{\begin{array}{l}n•{2^{a_n}}，n=2k-1\\ \frac{1}{{{n^2}+2n}}，n=2k\end{array}\right.（{k∈{{N}^*}}）$，求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用分组求和、“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${S_n}=n{a_n}+\frac{1}{2}n（{n-1}）$①，
∴${S_{n+1}}=（{n+1}）{a_{n+1}}+\frac{1}{2}（{n+1}）n$②，
②-①得，a_n+1=（n+1）a_n+1-na_n+n，
∴a_n+1-a_n=-1，
∴a_n=0+（n-1）×（-1）=1-n．
（2）由（1）知${b_n}=\left\{\begin{array}{l}n•{2^{1-n}}，n=2k-1\\ \frac{1}{{{n^2}+2n}}，n=2k\end{array}\right.（{k∈{{N}^*}}）$，
∴T_2n=b₁+b₂+b₃+…+b_2n=[1×2⁰+3×2^-2+5×2^-4+…+（2n-1）•2^2-2n]+$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+…+\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+2}}）$=$[{1×{2^0}+3×{2^{-2}}+5×{2^{-4}}+…+（{2n-1}）•{2^{2-2n}}}]+\frac{n}{{4（{n+1}）}}$，
设A=1×2⁰+3×2^-2+5×2^-4+…+（2n-1）•2^2-2n，
则2^-2A=1×2^-2+3×2^-4+5×2^-6+…+（2n-3）•2^2-2n+（2n-1）•2^-2n，
两式相减得$\frac{3}{4}A=1+2（{{2^{-2}}+{2^{-4}}+{2^{-6}}+…+{2^{2-2n}}}）-（{2n-1}）•{2^{-2n}}$，
整理得$A=\frac{20}{9}-\frac{24n+20}{{9×{2^{2n}}}}$，
∴${T_{2n}}=\frac{20}{9}-\frac{24n+20}{{9×{2^{2n}}}}+\frac{n}{{4（{n+1}）}}$．

点评 本题考查了递推关系、分组求和方法、“裂项求和”方法、“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．