Question

5．设命题P：实数x满足2x²-5ax-3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足$\left\{{\begin{array}{l}{2sinx＞1}\\{{x^2}-x-2＜0}\end{array}}\right.$．
（1）若a=2，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先分别求出命题P与命题q的集合简化形式B与A；p∧q为真，则p，q均为真，实则是求B∩A．
（2）由?p是?q的充分不必要条件，则$\left\{{\begin{array}{l}{q⇒p}\\{p≠q}\end{array}}\right.$（q能推导出p，p推导不出q）．则说明B⊆A．

解答 解：（1）若a=2，则2x²-5ax-3a²＜0可化为x²-5x-6＜0，
解得：-1＜x＜6．
由$\left\{{\begin{array}{l}{2sinx＞1}\\{{x^2}-x-2＜0}\end{array}}\right.$得$\left\{{\begin{array}{l}{2kπ+\frac{π}{6}＜x＜2kπ+\frac{5π}{6}，k∈Z}\\{-1＜x＜2}\end{array}}\right.$，
∴不等式的解集为$\left\{{x\left|{\frac{π}{6}＜x＜2}\right.}\right\}$．
若p∧q为真，则p，q均为真，∴由$\left\{{\begin{array}{l}{-1＜x＜6}\\{\frac{π}{6}＜x＜2}\end{array}}\right.$可得$\frac{π}{6}＜x＜2$．
（2）解2x²-5ax-3a²＜0得：$-\frac{1}{2}a＜x＜3a$．
若?p是?q的充分不必要条件，则$\left\{{\begin{array}{l}{q⇒p}\\{p≠q}\end{array}}\right.$．
设$A=\left\{{x\left|{-\frac{1}{2}a＜x＜3a}\right.}\right\}$，$B=\left\{{x\left|{\frac{π}{6}＜x＜2}\right.}\right\}$，则B⊆A．
∴3a≥2且$-\frac{1}{2}a≤\frac{π}{6}$，即$a≥\frac{2}{3}$，∴实数a的取值范围是$[\frac{2}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了命题与逻辑用语，以及命题与集合之间的关系表达，属基础题．