Question

已知单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂与a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等比数列和通项公式和等差数列的性质求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由T_n=n•2+（n-1）•2²+（n-2）•2³+…+2•2^n-1+2ⁿ，利用错位相减法能求出T_n．

解答： 解：（1）∵单调递增的等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂与a₄的等差中项，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄，
代入a₂+a₃+a₄=28，
解得a₃=8，
∴a₂+a₄=20，
设首项为a₁，公比为q，
∴

a1q+a1q3=20 a3=a1q2=8

，
解得a₁=2，q=2，或a1=32，q=

1

2

，
又{a_n}单调递增，∴q=2，a₁=2，
∴an=2n．
（2）T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n
=n•2+（n-1）•2²+（n-2）•2³+…+2•2^n-1+2ⁿ，①
2T_n=n•2²+（n-1）•2³+…+2•2ⁿ+2ⁿ⁺¹，②
②-①得：Tn=-2n+22+23+…+2n+2n+1
=-2n+

22(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺²-2n-4．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意错位相减法的合理运用．