Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右两个焦点为F₁，F₂离心率为e=

2

2

，过点（

2

，1）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，椭圆的左顶点为M，连接MA，MB并延长交直线x=4于P、Q两点，y_P，y_Q分别为P、Q的纵坐标，且满足

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

．
求证：直线l过定点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：计算题,证明题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由离心率为e=

c

a

，得到一方程，再由椭圆过点（

2

，1），代入方程，再由a，b，c的关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；
（2）联立直线l的方程和椭圆方程，消去y，得到x的二次方程，由判别式大于0，运用韦达定理，再由条件化简整理，即可得到k，m的关系，再由直线l的方程，即可判断恒过定点（1，0）．

解答： （1）解：由离心率为e=

2

2

，即

c

a

=

2

2

，①
椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（

2

，1），即有

2

a2

+

1

b2

=1，②
又c²=a²-b²③
由①②③，解得a=2，b=

2

，
故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）证明：联立

x2+2y2=4 y=kx+m

，消去y，得（2k²+1）x+4kmx+2m²-4=0，
则△=16k²m²-4（2k²+1）（2m²-4）=32k²-8m²+16＞0，又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
即有x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-4

2k2+1

，
设直线MA：y=

y1

x1+2

（x+2），则y_P=

6y1

x1+2

，同理y_Q=

6y2

x2+2

，
∵

1

y1

+

1

y2

=

1

yP

+

1

yQ

，
∴

1

y1

+

1

y2

=

x1+2

6y1

+

x2+2

6y2

，即

x1-4

6y1

+

x2-4

6y2

=0，
∴（x₁-4）y₂+（x₂-4）y₂=0，∴（x₁-4）（kx₂+m）+（x₂-4）（kx₁+m）=0，
即2kx₁x₂+（m-4k）（x₂+x₁）-8m=0，
∴2k•

2m2-4

2k2+1

+（m-4k）（-

4km

2k2+1

）-8m=0，
∴

-8k-8m

2k2+1

=0，故k=-m，
故直线l方程为y=kx-k，可知该直线过定点（1，0）．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率，考查直线和椭圆方程联立，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，考查直线的方程，以及化简和整理的运算能力，属于中档题．