Question

如图，有一边长为2米的正方形钢板ABCD缺损一角（图中的阴影部分），边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．
（1）请建立适当的直角坐标系，求阴影部分的边缘线OC的方程；
（2）如何画出切割路径EF，使得剩余部分即直角梯形ABEF的面积最大？
并求其最大值．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）根据题意建立坐标系，由题意可得边缘线OC的方程为y=

1

4

x2(0≤x≤2)；
（2）设出切点得出切线方程求出点E、F的坐标，进而表示出梯形的面积再结合二次函数的性质求出面积最大值，最终解决实际问题．

解答： 解：（1）以O为原点，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意
可设抛物线弧OC的方程为y=ax²（0≤x≤2）
∵点C的坐标为（2，1），∴2²a=1，a=

1

4

故边缘线OC的方程为y=

1

4

x2(0≤x≤2)．
（2）要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标为P(t，

1

4

t2)(0＜t＜2)，∵y′=

1

2

x，
∴直线EF的方程可表示为y-

1

4

t2=

1

2

t(x-t)，即 y=

1

2

tx-

1

4

t2，由此可求得E(2，t-

1

4

t2)，F(0，-

1

4

t2).|AF|=|-

1

4

t2-(-1)|=1-

1

4

t2，|BE|=|(t-

1

4

t2)-(-1)|=-

1

4

t2+t+1，
设梯形ABEF的面积为S（t），则S(t)=

1

2

|AB|•[|AF|+|BE|]=(1-

1

4

t2)+(-

1

4

t2+t+1)=-

1

2

t2+t+2=-

1

2

(t-1)2+

5

2

≤

5

2

．∴当t=1时，S(t)=

5

2

．
故S（t）的最大值为2.5．此时|AF|=0.75，|BE|=1.75．
答：当AF=0.75m，BE=1.75m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5  m2．

点评：解应用题常用的方法是依据题意建立等量关系，构造数学模型利用函数的性质进行求解，而有些应用题有明显的几何意义，可以考虑利用解析法根据题意建立适当的坐标系，构造曲线方程，利用曲线的性质进行求解．