题目内容
3.已知函数f(x)=(2k-1)lnx+$\frac{k}{x}$+2x,有以下命题:①当k=-$\frac{1}{2}$时,函数f(x)在(0,$\frac{1}{2}}$)上单调递增;
②当k≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上有极大值;
③当-$\frac{1}{2}$<k<0时,函数f(x)在($\frac{1}{2}$,+∞)上单调递减;
④当k<-$\frac{1}{2}$时,函数f(x)在(0,+∞)上有极大值f(${\frac{1}{2}}$),有极小值f(-k).
其中不正确命题的序号是( )
| A. | ①③ | B. | ②③ | C. | ①④ | D. | ②④ |
分析 求函数的导数,分别利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可.
解答 解:函数的定义域为(0,+∞),
函数的导数f′(x)=$\frac{2k-1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$+2=$\frac{2{x}^{2}+(2k-1)x-k}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+k)(2x-1)}{{x}^{2}}$=$\frac{2(x+k)(x-\frac{1}{2})}{{x}^{2}}$,
①当k=-$\frac{1}{2}$时,f′(x)=$\frac{2(x-\frac{1}{2})^{2}}{{x}^{2}}$≥0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
则在(0,$\frac{1}{2}}$)上单调递增,故①正确;
②当k≥0时,由f′(x)>0得x>$\frac{1}{2}$,此时函数为增函数,
由f′(x)<0,得0<x<$\frac{1}{2}$,此时函数为减函数,即当x=$\frac{1}{2}$时,函数f(x)存在极小值,
即可函数f(x)在(0,+∞)上有极大值错误,故②错误;
③当-$\frac{1}{2}$<k<0时,则0<-k<$\frac{1}{2}$,
由f′(x)<0得-k<x<$\frac{1}{2}$,
由f′(x)>0得0<x<-k或x>$\frac{1}{2}$,即函数f(x)在($\frac{1}{2}$,+∞)上单调递增;故③错误,
④当k<-$\frac{1}{2}$时,-k>$\frac{1}{2}$,由f′(x)>0得0<x<$\frac{1}{2}$或x>-k,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得$\frac{1}{2}$<x<-k,即函数为减函数,
即函数f(x)在(0,+∞)上有极大值f(${\frac{1}{2}}$),有极小值f(-k).故④正确,
故不正确命题的序号②③,
故选:B
点评 本题主要考查命题的真假判断,涉及函数的单调性和导数的关系,考查学生的计算能力.
| A. | 第二、四象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
| A. | am+1<am+2 | B. | am+1>bm+2 | C. | bm+2<am+2 | D. | bm+1>bm+2 |