题目内容

3.已知函数f(x)=(2k-1)lnx+$\frac{k}{x}$+2x,有以下命题:
①当k=-$\frac{1}{2}$时,函数f(x)在(0,$\frac{1}{2}}$)上单调递增;
②当k≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上有极大值;
③当-$\frac{1}{2}$<k<0时,函数f(x)在($\frac{1}{2}$,+∞)上单调递减;
④当k<-$\frac{1}{2}$时,函数f(x)在(0,+∞)上有极大值f(${\frac{1}{2}}$),有极小值f(-k).
其中不正确命题的序号是(  )
A.①③B.②③C.①④D.②④

分析 求函数的导数,分别利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可.

解答 解:函数的定义域为(0,+∞),
函数的导数f′(x)=$\frac{2k-1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$+2=$\frac{2{x}^{2}+(2k-1)x-k}{{x}^{2}}$=$\frac{(x+k)(2x-1)}{{x}^{2}}$=$\frac{2(x+k)(x-\frac{1}{2})}{{x}^{2}}$,
①当k=-$\frac{1}{2}$时,f′(x)=$\frac{2(x-\frac{1}{2})^{2}}{{x}^{2}}$≥0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
则在(0,$\frac{1}{2}}$)上单调递增,故①正确;
②当k≥0时,由f′(x)>0得x>$\frac{1}{2}$,此时函数为增函数,
由f′(x)<0,得0<x<$\frac{1}{2}$,此时函数为减函数,即当x=$\frac{1}{2}$时,函数f(x)存在极小值,
即可函数f(x)在(0,+∞)上有极大值错误,故②错误;
③当-$\frac{1}{2}$<k<0时,则0<-k<$\frac{1}{2}$,
由f′(x)<0得-k<x<$\frac{1}{2}$,
由f′(x)>0得0<x<-k或x>$\frac{1}{2}$,即函数f(x)在($\frac{1}{2}$,+∞)上单调递增;故③错误,
④当k<-$\frac{1}{2}$时,-k>$\frac{1}{2}$,由f′(x)>0得0<x<$\frac{1}{2}$或x>-k,此时函数单调递增,
由f′(x)<0得$\frac{1}{2}$<x<-k,即函数为减函数,
即函数f(x)在(0,+∞)上有极大值f(${\frac{1}{2}}$),有极小值f(-k).故④正确,
故不正确命题的序号②③,
故选:B

点评 本题主要考查命题的真假判断,涉及函数的单调性和导数的关系,考查学生的计算能力.

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