Question

13．已知函数f（x）=x²+2（a-1）x+2，x∈[-2，4]．
（1）当a=2时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）在区间[-2，4]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用开口方向和对称轴判断f（x）的单调性，根据f（x）的单调性和对称性计算f（x）的最值；
（2）根据单调性得出对称轴与区间端点值的关系，从而解出a的范围．

解答 解：（1）当a=2时，f（x）=x²+2x+2，
f（x）的对称轴为直线x=-1，
∴函数f（x）在[-2，-1]上为减函数，在[-1，4]上为增函数，
∴f（x）_min=f（-1）=1，f（x）_max=f（4）=26．
（2）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2的对称轴是直线x=1-a，
又f（x）在[-2，4]上是单调函数，
∴1-a≥4或1-a≤-2，
∴a≤-3或a≥3，
∴a的取值范围为{a|a≤-3或a≥3}．

点评 本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，属于中档题．