Question

10．已知斜率为1的直线l与抛物线y²=2px（p＞0）交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为K₁，K₂，则K₁+K₂的取值范围是（4，+∞）．

Answer 1

分析 直线方程为y=x+b，即x=y-b，代入抛物线y²=2px，可得y²-2py+2pb=0，由△=4p²-8pb＞0，求得p＞2b，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求出K₁+K₂的取值范围．

解答 解：设直线方程为y=x+b，即x=y-b，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{x=y-b}\end{array}\right.$，整理得y²-2py+2pb=0，
△=4p²-8pb＞0，
∵p＞0，
解得：p＞2b
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得y₁+y₂=2p，y₁y₂=2pb，
K₁+K₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}（{y}_{2}-b）+（{y}_{1}-b）{y}_{2}}{（{y}_{1}-b）（{y}_{2}-b）}$=$\frac{2{y}_{1}{y}_{2}-b（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{y}_{1}{y}_{2}-b（{y}_{1}+{y}_{2}）+{b}^{2}}$=$\frac{4pb-2pb}{2pb-2pb+{b}^{2}}$=$\frac{2p}{b}$＞4．
∴K₁+K₂的取值范围为：（4，+∞），
故答案为：（4，+∞）．

点评 本题考查斜率的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题