Question

12．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$\frac{2a+b}{c}$=$\frac{cos（A+C）}{cosC}$
（1）求角C的大小；
（2）求$\frac{a+b}{c}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{2a+b}{c}$=$\frac{cos（A+C）}{cosC}$，利用正弦定理可得：$\frac{2sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{-cosB}{cosC}$，化简利用和差公式即可得出．
（2）由正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin$（A+\frac{π}{3}）$，由A∈$（0，\frac{π}{3}）$，可得sin$（A+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{2a+b}{c}$=$\frac{cos（A+C）}{cosC}$，利用正弦定理可得：$\frac{2sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{-cosB}{cosC}$，化为2sinAcosC+sin（B+C）=0，
∴2sinAcosC+sinA=0，又sinA≠0，解得cosC=-$\frac{1}{2}$，C∈（0，π），解得C=$\frac{2π}{3}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$[sinA+sin$（\frac{π}{3}-A）$]=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$（\frac{1}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA）$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin$（A+\frac{π}{3}）$，
∵A∈$（0，\frac{π}{3}）$，∴$（A+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}）$，∴sin$（A+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin$（A+\frac{π}{3}）$∈$（1，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}]$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、诱导公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．