Question

我们知道：对于任意n∈N^*有（1+2+3+…+n）²=1³+2³+…+n³成立，尝试将此真命题进行推广：若数列{a_n}对于任意n∈N^*有（a₁+a₂+a₃+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³则称数列{a_n}具有”D性质”
（1）若由三项非零数组成的数列a₁，a₂，a₃具有”D性质”，求出所有满足条件的数列{a_n}；
（2）若数列{b_n}b₁=1，且S_n=

(n+1)bn

2

（n∈N^*），则该数列具有”D性质”么？说明理由（S_n为数列前n项和）；
（3）若数列{c_n}c₁=1，c₂=2满足c_n+1²-c_n+1=2S_n，（n∈N^*）判断并证明该数列是否具有”D性质”．（S_n为数列前n项和）

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：计算题,等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）求出n=1，2，3对应的a₁，a₂，a₃的值即可；
（2）将n换成n-1，相减，运用新定义，即可得证；
（3）{c_n}具有”D性质”，运用数学归纳法证明即可．

解答： 解：（1）当n=1时

a

2 1

=

a

3 1

⇒a1=1；
当n=2时(

a

1

+

a

2

)2=

a

3 1

+

a

3 2

⇒a2=-1或2，
当n=3时(

a

1

+

a

2

+a3)2=

a

3 1

+

a

3 2

+

a

3 3

⇒

a2=-1 a3=1

a2=2 a3=-2或

a3=3

；
∴所有满足条件的数列{a_n}：a₁=1，a₂=-1，a₃=1
或a₁=1，a₂=2，a₃=-2或a₁=1，a₂=2，a₃=3；
（2）S_n=

(n+1)bn

2

，S_n-1=

(n)bn-1

2

（n∈N^*，n＞1）⇒（n-1）b_n=nb_n-1
则

bn

n

-

bn-1

n-1

=0，即{

bn

n

}为等差数列，且b_n=n，则该数列具有”D性质”；
（3）{c_n}具有”D性质”．运用数学归纳法证明如下：
1）当n=1时c12=

c

3 1

，”D性质成立”；
2）假设当n=k（k∈N^*）时有(c1+…+ck)2=c13+c23+…+ck3成立．
则当n=k+1时有(c1+…+ck+1)2=(Sk+ck+1)2=

S

2 k

+2ck+1Sk+

c

2 k+1

=c13+c23+…+ck3+（ck+12-ck+1）c_k+1+

c

2 k+1

=c13+c23+…+ck3+

c

3 k+1

∴{c_n}具有”D性质”．

点评：本题新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式，以及数学归纳法的证明，考查运算能力，属于中档题．