Question

已知函数f（x）=

x+a

x2+2

（x∈R）．
（1）写出函数y=f（x）的奇偶性；
（2）当x＞0时，是否存实数a，使v=f（x）的图象在函数g（x）=

2

x

图象的下方，若存在，求α的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=0时，f（x）=

x

x2+2

是奇函数； 当a≠0时，函数f（x）=

x+a

x2+2

（x∈R），是非奇非偶函数． 
（2）若y=f（x）的图象在函数g（x）=

2

x

图象的下方，则

x+a

x2+2

＜

2

x

，化简得a＜

4

x

+x恒成立，在求函数的最值．

解答： 解：（1）因为y=f（x）的定义域为R，所以：
当a=0时，f（x）=

x

x2+2

是奇函数；        
当a≠0时，函数f（x）=

x+a

x2+2

（x∈R）．是非奇非偶函数． 
（2）当x＞0时，
若y=f（x）的图象在函数g（x）=

2

x

图象的下方，则

x+a

x2+2

＜

2

x

，
化简得a＜

4

x

+x恒成立，
因为x＞0，∴x+

4

x

≥2

x 4 x

=4
即(x+

4

x

)≥4，
所以，当a＜4时，y=f（x）的图象都在函数g（x）=

2

x

图象的下方．

点评：本题主要考查函数的奇偶性，同时考查函数恒成立的问题，主要进行函数式子的恒等转化．