Question

已知线段AB的端点B的坐标为（1，3），端点A在圆C：（x+1）²+y²=4上运动．
（1）求线段AB的中点M的轨迹方程；
（2）若直线l₁过点B，且与圆C相切，求l₁的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：（1）设出A和M的坐标，利用中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，代入圆的方程后可求线段AB的中点M的轨迹；
（2）利用直线与圆相切，那么圆心到直线的距离为半径长度，求出直线斜率即可．

解答： 解：（1）设A（x₁，y₁），M（x，y），
由中点公式得

x= x1+1 2 y= y1+3 2

，所以

x1=2x-1 y1=2y-3

，
因为A在圆C上，所以（2x-1+1）²+（2y-3）²=4，即x²+（y-

3

2

）²=1，
所以线段AB的中点M的轨迹方程x²+（y-

3

2

）²=1；
（2）当直线斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0，圆的圆心为（-1，0），
所以

|-k-k+3|

k2+1

=2，解得k=

5

12

，此时的直线方程为5x-12y+7=0；
当直线斜率不存在时的直线方程为x=1；
所以l₁的方程为5x-12y+7=0和x=1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法以及直线与圆的相切的切线方程的求法；注意本题容易忽略斜率不存在的直线方程．