Question

已知函数f（x）=Asin²（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

，且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（1）求φ；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,三角函数的化简求值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据振幅、周期性、过定点确定其解析式；
（2）利用周期性进行求解．

解答： 解：（1）y=Asin²（ωx+φ）=

A

2

-

A

2

cos（2ωx+2φ），
∵y=f（x）的最大值为2，A＞0．
∴A=2．
又∵其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，
∴

2π

2ω

=2×2，ω=

π

4

，
∴f（x）=1-cos（

π

2

x+2φ）=1-cos（

π

2

x+2φ），
∵y=f（x）过（1，2）点，
∴cos（

π

2

+2φ）=-1，
∴

π

2

+2φ=2kπ+π，k∈Z，
∴2φ=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴φ=kπ+

π

4

，k∈Z，
又∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
（2）根据（1）知，函数的周期为4，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又∵y=f（x）的周期为4，2014=4×503+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=4×503+f（1）+f（2）=2012+3=2015．

点评：本题重点考查了三角恒等变换公式、三角公式、函数的周期性等知识，属于中档题，解题关键是掌握三角函数值在各个象限内的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦．