Question

19．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{4a-3}）x+2a-4，x≤t\\ 2{x^3}-6x，x＞t\end{array}\right.$，无论t取何值，函数f（x）在R上总是不单调，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． $[{\frac{1}{4}，+∞}）$
• C． $[{\frac{3}{4}，+∞}）$
• D． $（{-∞，\frac{3}{4}}]$

Answer 1

分析 判断函数的单调性，列出不等式，转化求解a的范围即可．

解答 解：y=2x³-6x，x＞t，
y′=6x²-6＞0，可得x＞1或x＜-1，即y=2x³-6x在x∈（1，+∞）是增函数，如果4a-3＞0，总存在实数t，使得（4a-3）t+2a-1≤2t³-6t成立，此时函数是单调增函数，函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{4a-3}）x+2a-4，x≤t\\ 2{x^3}-6x，x＞t\end{array}\right.$，无论t取何值，函数f（x）在R上总是不单调，只需4a-3≤0，解得a≤$\frac{3}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的单调性导数的应用，考查转化思想以及计算能力．