Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n；
（Ⅲ）设b_n=

Sn-3

3n

，试求数列{b_n}的最大项．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的函数特性,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a_n}的前n项和为S_n；
（Ⅲ）求出b_n=

Sn-3

3n

的通项公式，建立不等式关系即可试求数列{b_n}的最大项．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2且n∈N^*）．
得

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
即{

an

2n

}是首项为

1

2

，公差d=1的等差数列，
则

an

2n

=

1

2

+(n-1)=n-

1

2

，
数列{a_n}的通项公式a_n=（2n-1）•2^n-1；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n；
∵a_n=（2n-1）•2^n-1；
∴S_n=1•2⁰+3•2¹+5•2²+…+（2n-1）•2^n-1；
2S_n=1•2¹+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ；
两式相减得-S_n=1+2（2¹+2²+…+2^n-1-（2n-1）•2ⁿ=1+

22(1-2n+1)

1-2

-(2n-1)•2n=-3+（3-2n）•2ⁿ；
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3
（Ⅲ）∵b_n=

Sn-3

3n

，∴b_n═（2n-3）•（

2

3

）ⁿ，
由

bn≥bn+1 bn≥bn-1

，
即

(2n-3)( 2 3 )n≥(2n-1)( 2 3 )n+1 (2n-3)( 2 3 )( 2 3 )n≥(2n-5)( 2 3 )n-1

，
解得

7

2

≤n≤

9

2

，即n=4，
即数列{b_n}的最大项为b4=

80

81

．

点评：本题主要考查递递推数列的应用，综合考查学生的运算能力，要求熟练掌握求和的常见方法．