Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点坐标为（-1，1），求椭圆E的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设过点F的直线方程为：y=k（x+3），联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，和中点坐标公式，化简整理，解方程，即可得到椭圆方程．

解答： 解：设过点F的直线方程为：y=k（x+3），
联立椭圆方程，消去y，得，（b²+a²k²）x²+6a²k²x+9a²k²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

6a2k2

b2+a2k2

，即有AB中点为（-

3a2k2

b2+a2k2

，

3kb2

b2+a2k2

），
即有-

3a2k2

b2+a2k2

=-1，

3kb2

b2+a2k2

=1，且c=3，即有a²-b²=9，
解得，a²=18，b²=9．
则有椭圆E的方程为：

x2

18

+

y2

9

=1．

点评：本题考查椭圆方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和中点坐标公式，化简整理的运算能力，属于中档题．