Question

5．如图，在棱长均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BB₁的中点，F在AC₁上，且DF⊥AC₁，则下列结论：
（1）AC₁⊥BC；
（2）AF=FC₁；
（3）平面DAC₁⊥平面ACC₁A₁；
（4）直线DF∥平面ABC，
其中正确的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 不妨设棱长为：2，对于（1）连接AB₁，则AB₁=AC₁=2$\sqrt{2}$，可得∠AC₁B₁≠90°，又BC∥B₁C₁，即可判断出正误；
对于（2），连接AD，DC₁，在△ADC₁中，AD=DC₁=$\sqrt{5}$，而DF⊥AC₁，利用等腰三角形的性质即可判断出正误；
对于（3）由（2）可知，在△ADC₁中，DF=$\sqrt{3}$，连接CF，易知CF=$\sqrt{2}$，可得CD=$\sqrt{5}$，DF²+CF²=CD²，利用勾股定理的逆定理可得DF⊥CF，又DF⊥AC₁，利用线面面面垂直的判断与性质定理即可判断出结论；
对于（4）：取AC的中点E，连接EF，BE．则EF$\underset{∥}{=}$BD，利用平行四边形的判定与性质定理可得DF∥BE，再利用线面平行的判定定理即可判断出结论．

解答 解：不妨设棱长为：2，对于（1）连接AB₁，则AB₁=AC₁=2$\sqrt{2}$，∴∠AC₁B₁≠90°，即AC₁与B₁C₁不垂直，又BC∥B₁C₁，∴不正确；
对于（2），连接AD，DC₁，在△ADC₁中，AD=DC₁=$\sqrt{5}$，而DF⊥AC₁，∴F是AC₁的中点，AF=FC₁，∴正确；
对于（3）由（2）可知，在△ADC₁中，DF=$\sqrt{3}$，连接CF，易知CF=$\sqrt{2}$，而在Rt△CBD中，CD=$\sqrt{5}$，∴DF²+CF²=CD²，
即DF⊥CF，又DF⊥AC₁，∴DF⊥面ACC₁A₁，∴平面DAC₁⊥平面ACC₁A₁，∴正确；
对于（4）：取AC的中点E，连接EF，BE．则EF$\underset{∥}{=}$BD，可得四边形BDFE为平行四边形，∴DF∥BE，又DF?平面ABC，BE?平面ABC，∴直线DF∥平面ABC．
综上可得：正确的命题的个数为3．
故选：C．

点评 本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判断及性质定理、勾股定理与逆定理、等腰三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．