Question

20．设点（a，b）是区域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0}\\{y＞0}\end{array}\right.$内的任意一点，则$\frac{b+2}{a+1}$的取值范围是（$\frac{2}{5}$，6）．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用$\frac{b+2}{a+1}$的几何意义进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，$\frac{b+2}{a+1}$的几何意义是区域内的点到点D（-1，-2）的斜率，
由图象得AD的斜率最大，BD的斜率最小，
其中A（0，4），B（4，0），
则AD的斜率k=$\frac{4+2}{0+1}$=6，BD的斜率k=$\frac{0+2}{4+1}$=$\frac{2}{5}$，
则$\frac{b+2}{a+1}$的取值范围是（$\frac{2}{5}$，6），
故答案为：（$\frac{2}{5}$，6）．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义结合直线的斜率公式是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．