Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1和定点A（6，0），O是坐标原点，动点P在椭圆C移动，$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{PB}$，点D是线段PB的中点，直线OB与AD相交于点M，设$\overrightarrow{OM}$=λ$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求点M的轨迹E的方程，如果E是中心对称图形，那么类比圆的方程用配方求对称中心的方法，求轨迹E的对称中心；如果E不是中心对称图形，那么说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出$\overrightarrow{OM}$=$λ\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}$，从而$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OA}$，再由A，M，D三点共线，能求出λ的值．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），M（x，y），推导出$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3}{2}（x-4）}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$，由点P（x₀，y₀）在椭圆C上，能求出点M轨迹E也是椭圆，对称中心为（4，0）．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=$λ\overrightarrow{OA}+λ\overrightarrow{OP}$，
又∵点D是线段PB的中点，且$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{PB}$，
∴$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{OA}$，
∵A，M，D三点共线，$\frac{1}{2}λ+λ=1$，解得$λ=\frac{2}{3}$．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），M（x，y），
由（Ⅰ）知，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OP}$=（4+$\frac{2}{3}{x}_{0}$，$\frac{2}{3}{y}_{0}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{2}{3}{x}_{0}}\\{y=\frac{2}{3}{y}_{0}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3}{2}（x-4）}\\{{y}_{0}=\frac{3}{2}y}\end{array}\right.$，
∵点P（x₀，y₀）在椭圆C上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，
∴$\frac{1}{4}$（x-4）²+$\frac{9}{16}{y}^{2}$=1，
即点M轨迹E也是椭圆，对称中心为（4，0）．

点评 本题考查实数值的求法，考查轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式、相关点法的合理运用．