Question

14．用数学归纳法证明不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n+1}$≥$\frac{25}{24}$对一切正整数n都成立．

Answer 1

分析 先验证n=1时不等式成立，再假设n=k时不等式成立，推导n=k+1时不等式也成立即可．

解答 证明：n=1时，左侧=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{13}{12}$＞$\frac{25}{24}$，
∴n=1时，不等式成立．
假设n=k时，不等式成立，即$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+$…+$\frac{1}{3k+1}$≥$\frac{25}{24}$，
则n=k+1时，左侧=$\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}$+…$\frac{1}{3k+1}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}$≥$\frac{25}{24}$+$\frac{1}{3k+2}$+$\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}$-$\frac{1}{k+1}$
=$\frac{25}{24}$+$\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+4}-\frac{2}{3k+3}$=$\frac{25}{24}+$$\frac{2}{（3k+2）（3k+3）（3k+4）}$＞$\frac{25}{24}$，
∴当n=k+1时，不等式成立．
所以不等式$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{3n+1}$≥$\frac{25}{24}$对一切正整数n都成立．

点评 本题考查了数学归纳法证明，应熟练掌握证明步骤，属于中档题．