Question

某县位于沙漠边缘地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到2009年底全县的绿化率已达到30%，从2009年开始，每年将出现这样的局面：原有沙漠面积的16%被栽上树，改造成绿洲，而同时原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变成沙漠．
（1）设全县面积为1，2009年底绿洲面积a₁=

3

10

，经过一年（指2010年底）绿洲面积为a₂，经过n年绿洲面积为a_n+1，求证：a_n+1=

4

5

an+

4

25

．
（2）问至少经过多少年的努力才能使全县绿洲面积超过60%（年取整数，lg2≈0.3010）．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）运用数列的递推关系式求解证明．
（2）利用待定系数法构造等比数列求解，求通项公式，列出不等式求解运算．

解答： 解：（1）证明：设第（n-1）年沙漠面积为b_n，则a_n+b_n=1
∴a_n+1=

96

100

a_n+

16

100

b_n=

96

100

a_n+

16

100

(1-an)=

80

100

a_n+

16

100

=

4

5

a_n+

4

25

（2）设至少经过n年的努力才能使全县绿化面积超过60%．
由（1）可知：a_n+1=

4

5

a_n+

4

25

，
设a_n+1+λ=

4

5

（a_n+λ），∴-

1

5

λ=

4

25

∴λ=-

4

5

∴{a_n-

4

5

}为等比数列，首项a₁-

4

5

=

3

10

-

4

5

=-

1

2

，公比q=

4

5

∴a_n+1-

4

5

=（-

1

2

）×（

4

5

）ⁿ，即a_n+1=

4

5

-

1

2

×（

4

5

）ⁿ＞60%=

3

5

，
∴（

4

5

）ⁿ＜

2

5

，∴nlg

4

5

＜lg

2

5

，
∴n＞

lg 2 5

lg 4 5

=

2lg2-1

3lg2-1

≈4.1，
有n∈N⁺，∴至少经过5年的努力才能使全县绿化面积超过60%．

点评：本题考查了等比数列的定义，性质；运用解决实际问题的能力；构造法求解数列问题．