Question

已知函数f（x）=x²+

a

x

，常数a∈R．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）a=0时容易判断出f（x）是偶函数，对于a≠0时能够判断出是非奇非偶函数，只需举反例说明即可；
（2）求f′（x），则有f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，便得到a≤2x³恒成立，从而得到a≤16，这便得出了a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=0时，f（x）=x²，对任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（-x）=（-x）²=x²=f（x），∴f（x）为偶函数；
当a≠0时，f（x）=x2+

a

x

（a≠0，x≠0），取x=±1，得f（-1）+f（1）=2≠0，f（-1）-f（1）=-2a≠0，∴f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1）；
∴函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；
（2）f′（x）=2x-

a

x2

=

2x3-a

x2

；
∴x∈[2，+∞）时，

2x3-a

x2

≥0恒成立，即a≤2x³恒成立，2x³在[2，+∞）的最小值为16，∴a≤16；
∴a的取值范围是（-∞，16]．

点评：考查奇偶函数的定义，函数单调性和函数导数符号的关系，2x³的单调性并根据单调性求最值．