Question

3．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角θ，且$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}$=cosθ，则称$\overrightarrow{a}$被$\overrightarrow{b}$“同余”．已知$\overrightarrow{b}$被$\overrightarrow{a}$“同余”，则$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影是（　　）

• A． $\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|}$
• B． $\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}}$
• C． $\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}-{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{b}|}$
• D． $\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{b}|}$

Answer 1

分析 根据“同余”的定义写出$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$=cosθ，再计算数量积（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$，从而求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影．

解答 解：根据题意，$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$=cosθ，其中θ为$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$的夹角；
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•$\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$；
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影为：
|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|cos＜$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$＞=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|×$\frac{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}{-\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{a}|}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算以及向量投影的计算问题，是基础题．