Question

13．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象过点B（0，-1），且在（$\frac{π}{18}$，$\frac{π}{3}$）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x₁，x₂∈（-$\frac{17π}{12}$，-$\frac{2π}{3}$），且x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=（　　）

• A． -$\sqrt{3}$
• B． -1
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意求得φ、ω的值，写出函数f（x）的解析式，求图象的对称轴，得x₁+x₂的值，再求f（x₁+x₂）的值．

解答 解：由函数f（x）=2sin（ωx+φ）的图象过点B（0，-1），
∴2sinφ=-1，解得sinφ=-$\frac{1}{2}$，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（ωx-$\frac{π}{6}$）；
又f（x）的图象向左平移π个单位之后为
g（x）=2sin[ω（x+π）-$\frac{π}{6}$]=2sin（ωx+ωπ-$\frac{π}{6}$），
由两函数图象完全重合知ωπ=2kπ，∴ω=2k，k∈Z；
又$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{18}$≤$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，
∴ω≤$\frac{18}{5}$，∴ω=2；
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），其图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z；
当x₁，x₂∈（-$\frac{17π}{12}$，-$\frac{2π}{3}$），其对称轴为x=-3×$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$=-$\frac{7π}{6}$，
∴x₁+x₂=2×（-$\frac{7π}{6}$）=-$\frac{7π}{3}$，
∴f（x₁+x₂）=f（-$\frac{7π}{3}$）
=2sin[2×（-$\frac{7π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]
=2sin（-$\frac{29π}{6}$）
=-2sin$\frac{29π}{6}$
=-2sin$\frac{5π}{6}$=-1．
应选：B．

点评 本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综合题．