Question

8．如图，在正四面体ABCD中，O是△BCD的中心，E，F分别是AB，AC上的动点，且$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CF}$=（1-λ）$\overrightarrow{CA}$
（1）若OE∥平面ACD，求实数λ的值；
（2）若λ=$\frac{1}{2}$，正四面体ABCD的棱长为2$\sqrt{2}$，求平面DEF和平面BCD所成的角余弦值．

Answer 1

分析 （1）取CD的中点G，连接BG、AG，推导出点O在BG上，且$\frac{BO}{OG}=2$，当OE∥AG时，OE∥平面ACD，从而$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，由此能求出结果．
（2）当$λ=\frac{1}{2}$时，点E、F分别是AB、AC的中点．以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出平面DEF和平面BCD所成的角的余弦值．

解答 解：（1）取CD的中点G，连接BG、AG，
∵O是正△BCD的中心，∴点O在BG上，且$\frac{BO}{OG}=2$，
∵当OE∥AG时，OE∥平面ACD，
∴$\frac{BE}{EA}=\frac{BO}{OG}=2$，∴BE=$\frac{2}{3}BA$，即$\overrightarrow{BE}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，
∵$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BA}$，∴$λ=\frac{2}{3}$．
（2）当$λ=\frac{1}{2}$时，点E、F分别是AB、AC的中点．
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
依题设OB=2，
则B（0，-2，0），A（0，0，2$\sqrt{2}$），C（$\sqrt{3}，1，0$），
D（-$\sqrt{3}，1，0$），
E（0，-1，$\sqrt{2}$），F（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，\sqrt{2}$），
则$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{3}{2}，0$），$\overrightarrow{DE}$=（$\sqrt{3}，-2，\sqrt{2}$），
设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=\sqrt{3}x-2y+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则$\overrightarrow{n}$=（-$\frac{\sqrt{6}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{5}$，1），
又平面BCD的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．
设所求二面角为θ，则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．
∴平面DEF和平面BCD所成的角的余弦值为$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．

点评 本题考查满足条件的实数值的求法，考查二面角、空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查数形结合、化归与转化思想，是中档题．