Question

13．在直角坐标系xOy中，已知点P（2，0），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）过点P且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l交曲线C于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三种方程的转化方法，即可求曲线C的普通方程和极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\end{array}\right.（s为参数）$，将其代入y²=4x，利用参数的几何意义，即可求|AB|．

解答 解：（Ⅰ）因为$\left\{\begin{array}{l}x=4{t^2}\\ y=4t\end{array}\right.$消t得曲线C的普通方程为y²=4x．（2分）
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．（5分）
（Ⅱ）因为直线l过点P（2，0）且倾斜角为$\frac{π}{4}$，
所以直线l的标准参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}s\end{array}\right.（s为参数）$，（7分）
将其代入y²=4x，整理可得${s^2}-4\sqrt{2}s-16=0$，（8分）$△={（-4\sqrt{2}）^2}+4×16＞0$，
设A，B对应的参数分别为s₁，s₂则 ${s_1}+{s_2}=4\sqrt{2}，{s_1}{s_2}=-16$，
所以$|{AB}|=|{{s_1}-{s_2}}|=\sqrt{{{（{s_1}+{s_2}）}^2}-4{s_1}{s_2}}=\sqrt{{{（4\sqrt{2}）}^2}+4×16}=4\sqrt{6}$．（10分）

点评 本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．