Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n
（1）若数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，求常数m，t的值，使S_n=ma_n+t对一切大于零的自然数n都成立．
（2）若数列{a_n}是首项为a₁，公差d≠0的等差数列，证明：存在常数m，t，b使得S_n=ma_n²+ta_n+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=

1

2

．
（3）若数列{a_n}满足S_n=ma_n²+ta_n+b，n∈N⁺，m、t、b（m≠0）为常数，且S_n≠0，证明：当t=

1

2

时，数列{a_n}为等差数列．

Answer 1

考点：数列的应用,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等比数列的求和公式，即可求常数m，t的值；
（2）确定n=

an-a1

d

+1，利用S_n=ma_n²+ta_n+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=

1

2

，即可得出结论；
（3）由题知S_n-S_n-1=a_n，可得m(an2-an-12)-

1

2

(an+an-1)=0，即可证明结论．

解答： 解：（1）Sn=

a1-qan

1-q

=

1-2an

1-2

=2an-1
所以m=2，t=-1（4分）
（2）在等差数列{a_n}中，a_n=a₁+（n-1）d，所以n=

an-a1

d

+1

Sn=na1+ 1 2 n(n-1)d=( an-a1 d +1)a1+ 1 2 ( an-a1 d +1)( an-a1 d )d = 1 2d an2+ 1 2 an+ a1 2 - a12 2d

所以存在m=

1

2d

，d=

1

2

，b=

a1

2

-

a12

2d

使得命题成立（6分）
（3）由题知S_n-S_n-1=a_n，
∴m(an2-an-12)-

1

2

(an+an-1)=0，
∴(an+an-1)[m(an-an-1)-

1

2

]=0
若a_n+a_n-1=0，则S₂=0，与题设矛盾
所以m(an-an-1)=

1

2

，m≠0，得an-an-1=

1

2m

所以数列{a_n}为等差数列（6分）

点评：本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．