Question

已知a＞0且a≠1，指数函数y=a^x在（-∞，+∞）上是增函数；如果函数f(x)=log

1

a

x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为

1

2

，求实数a的值．

Answer 1

考点：对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：因为y=a^x在（-∞，+∞）上是增函数，所以a＞1，所以f(x)=log

1

a

x在[a，2a]上为减函数，结合函数f(x)=log

1

a

x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为

1

2

，构造方程，可得答案．

解答： 解：因为y=a^x在（-∞，+∞）上是增函数，
所以a＞1，…（2分）
所以f(x)=log

1

a

x在[a，2a]上为减函数，…（4分）
从而得f(a)-f(2a)=

1

2

即log

1

a

a-log

1

a

2a=

1

2

…（6分）
所以log

1

a

2=-

1

2

，…（10分）
所以(

1

a

)-

1

2

=2，…（12分）
解得a=4．…（14分）

点评：本题考查的知识点是指数函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．