Question

如果函数f（x）的图象与函数g（x）=（

1

2

）^x的图象关于直线y=x对称，则f（3x-x²）的单调递减区间是

 

．

Answer 1

考点：反函数

专题：函数的性质及应用

分析：函数f（x）的图象与函数g（x）=（

1

2

）^x的图象关于直线y=x对称，可得f（x）=log

1

2

x，因此f（3x-x²）=log

1

2

(3x-x2)=log

1

2

(-(x-

3

2

)2+

9

4

)的单调递减区间满足

3x-x2＞0 x≤ 3 2

，解出即可．

解答： 解：∵函数f（x）的图象与函数g（x）=（

1

2

）^x的图象关于直线y=x对称，
∴函数f（x）是g（x）的反函数，
∴f（x）=log

1

2

x，
∴f（3x-x²）=log

1

2

(3x-x2)=log

1

2

(-(x-

3

2

)2+

9

4

)的单调递减区间满足

3x-x2＞0 x≤ 3 2

，解得0＜x≤

3

2

．
故答案为：(0，

3

2

]．

点评：本题考查了反函数、二次函数的单调性、对数函数的单调性、复合函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．