Question

15．在平面直角坐标系xOy中直线l₁的倾斜角为α，且经过点P（1，-1），以坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox，曲线E的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l₁与曲线E相交于A、B两点，过点P的直线l₂与曲线E相交于C、D两点，且l₁⊥l₂．
（1）平面直角坐标系中，求直线l₁的一般方程和曲线E的标准方程；
（2）求证：AB²+CD²为定值．

Answer 1

分析 （1）当α=90⁰时，直线l₁垂直于x轴，其一般方程为x-1=0；当α≠90⁰时，直线l₁的斜率为tanα，所以其方程为（tanα）x-y-tanα-1=0．E的极坐标方程转化为ρ²=4ρcosθ，由=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出结果．
（2）设直线l₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数），代入曲线E的标准方程为（x-2）²+y²=4，由此能证明AB²+CD²=12+4sin2α+12-4sin2α=24为定值．

解答 解：（1）因为直线l₁的倾斜角为α，且经过点P（1，-1），
当α=90⁰时，直线l₁垂直于x轴，所以其一般方程为x-1=0，
当α≠90⁰时，直线l₁的斜率为tanα，所以其方程为y+1=tanα（x-1），
即一般方程为（tanα）x-y-tanα-1=0．
因为E的极坐标方程为ρ=4cosθ，所以ρ²=4ρcosθ，
因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x²+y²=4x．
所以曲线E的标准方程为（x-2）²+y²=4．
（2）证明：设直线l₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数），
代入曲线E的标准方程为（x-2）²+y²=4，
可得（1+tcosα-2）²+（-1+tsinα）²=4，即t²-2（cosα+sinα）t-2=0，
则t₁+t₂=2（cosα+sinα），t₁t₂=-2，
所以$A{B^2}={（{{t_1}-{t_2}}）^2}={（{{t_1}+{t_2}}）^2}-4{t_1}{t_2}=4{（{cosα+sinα}）^2}+8=12+4sin2α$，
同理$C{D^2}=12+4sin2（{α+\frac{π}{2}}）=12-4sin2α$，
所以AB²+CD²=12+4sin2α+12-4sin2α=24为定值．

点评 本题考查曲线的标准方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．