Question

已知函数f（x）=ax-（2a-1）lnx+b．
（Ⅰ）若f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，求实数a、b的值；
（Ⅱ）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=1时，f（x）在区间(

1

e

，e)上恰有一个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的零点,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，利用f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x，建立方程组，即可求实数a、b的值；
（Ⅱ）确定函数的定义域，当a＞0时，分类讨论，利用导数的正负讨论f（x）的单调性；
（Ⅲ）当a=1时，f（x）的最小值为f（1）=1+b，ff（x）在区间(

1

e

，e)上恰有一个零点，等价于f(1)=0或

f(e)＞0 f( 1 e )≤0

，即可求实数b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′(x)=a-

2a-1

x

=

ax-(2a-1)

x

…（1分）
依题意，

f′(1)=1-a=1 f(1)=a+b=1

…（2分）
解得：

a=0 b=1

…（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a-

2a-1

x

=

ax-(2a-1)

x

=

a[x- (2a-1) a ]

x

①当0＜a≤

1

2

时，恒有f'（x）＞0故f（x）的单调递增区间为（0，+∞）…（5分）
②当a＞

1

2

时，f′(x)=

a[x- (2a-1) a ]

x

，
令f'（x）=0得，x=

2a-1

a

＞0，…（6分）f（x）及f'（x）的值变化情况如下表：

x	(0， 2a-1 a )	2a-1 a	( 2a-1 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

…（8分）
故f（x）的单调递减区间为(0，

2a-1

a

)，单调递增区间为(

2a-1

a

，+∞)…（9分）
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=x-lnx+b，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，
∴f（x）的最小值为f（1）=1+b．…（10分）
∵f(

1

e

)=

1

e

+1+b，f（e）=e-1+b，
∴f(

1

e

)-f(e)=

1

e

+1-e+1=2+

1

e

-e＜0
即：f(

1

e

)＜f(e)…（11分），
∵f（x）在区间(

1

e

，e)上恰有一个零点，
∴f(1)=0或

f(e)＞0 f( 1 e )≤0

即：1+b=0或

e-1+b＞0 1 e +1+b≤0

…（13分）
解得：b=-1或1-e＜b≤-1-

1

e

…（14分）

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查函数的单调性，考查函数的最值，有难度．