Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上点到两焦点的距离和为

2

3

，短轴长为

1

2

，直线l与椭圆C交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）若直线MN与圆O：x²+y²=

1

25

相切，证明：∠MON为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求|OM|•|ON|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得2a=

2

3

，2b=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当直线MN⊥x轴时，∠MON=

π

2

．当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与圆O：x2+y2=

1

25

的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直线MN与圆O相切，得25b²=k²+1，联立

y=kx+b 9x2+16y2=1

，得（9+16k²）x²+32kbx+16b²-1=0，由此能证明∠MON=

π

2

为定值．
（Ⅲ）设∠XOM=θ，则∠XON=θ±

π

2

，由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），从而

1

|OM|2

=（9cos²θ+16sin²θ）（9sin²θ+16cos²θ）=9×16+（9-16）²•

1

4

sin²2θ，由此能求出|OM|的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：由椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上点到两焦点距离和为

2

3

，
得2a=

2

3

，即a=

1

3

；
由短轴长为

1

2

，得2b=

1

2

，即b=

1

4

．
∴椭圆C的方程为：9x²+16y²=1．
（Ⅱ）证明：当直线MN⊥x轴时，∵直线MN与圆O：x2+y2=

1

25

相切，
∴直线MN方程为：x=

1

5

或x=-

1

5

，
当直线方程为x=

1

5

，得两点分别为（

1

5

，

1

5

）和（

1

5

，-

1

5

），
故

OM

•

ON

=0，∠MON=

π

2

．
同理当x=-

1

5

时，∠MON=

π

2

．
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与与圆O：x2+y2=

1

25

的交点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直线MN与圆O相切得d=

|b|

k2+1

=

1

5

，即25b²=k²+1，①
联立

y=kx+b 9x2+16y2=1

，得（9+16k²）x²+32kbx+16b²-1=0，
∴△＞0，x1+x2=-

32kb

9+16k2

，x1x2=

16b2-1

9+16k2

，
由

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2
=

25b2-k2-1

9+16k2

，②
由①②，得

OM

•

ON

=0，即∠MON=

π

2

，
综上，∠MON=

π

2

为定值．
（Ⅲ）解：不妨设∠XOM=θ，则∠XON=θ±

π

2

，
由三角函数定义知M（|OM|cosθ，|OM|sinθ），N（±|ON|sinθ，±|ON|cosθ），
∵M，N都在9x²+16y²=1上，
∴

1

|OM|2

=（9cos²θ+16sin²θ）（9sin²θ+16cos²θ）
=9×16+（9-16）²sin²θcos²θ
=9×16+（9-16）²•

1

4

sin²2θ，
又sin²2θ∈[0，1]，故（

1

|OM|

•

1

|ON|

）²∈[9×16，(

9+16

2

)2]，
∴|OM|的取值范围是[

2

25

，

1

12

]．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查角为定值的证明，考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．