Question

19．函数f（x）=（a-1）ln x+$\frac{a}{x}$+bx+2（a，b∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x-y+1=0，求实数a，b的值；
（2）已知b=1，当x＞1时，f（x）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题知得f（1）=b+a+2=2，f′（1）=b-1=1，解得a=-2，b=2；
（2）当b=1时，f（x）=（a-1）lnx+$\frac{a}{x}$+x+2，
f′（x）=$\frac{a-1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x-1）（x+a）}{{x}^{2}}$
分以下两种情况讨论：当a≥-1，当a＜-1，求出最小值，只需f（x）_min＞0即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{a-1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$+b．
由题知得f（1）=b+a+2=2，f′（1）=b-1=1，解得a=-2，b=2…（5分）
（2）当b=1时，f（x）=（a-1）lnx+$\frac{a}{x}$+x+2，
∴f′（x）=$\frac{a-1}{x}-\frac{a}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x-1）（x+a）}{{x}^{2}}$…（7分）
当a≥-1时，-a≤1，当x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴当x＞1时，f（x）＞f（1）=a+3≥2，∴a≥-1满足题意…（9分）
当a＜-1时，-a＞1，当1＜x＜-a时，f′（x）＜0，当x＞-a时，f′（x）＞0，
∴f（x）在区间（1，-a）上是减函数，在区间（-a，+∞）是增函数，
∴f（x）_min=f（-a）=（a-1）ln（-a）+$\frac{a}{-a}$-a+2=（a-1）ln（-a）-a+1，
由题知f（x）_min=（a-1）ln（-a）-a+1＞0，解得a＞-e，
∴-e＜a＜-1…（11分）
综上所述，实数a的取值范围为（-e，+∞）．（12分）

点评 本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数的最值，考查了分类讨论思想，属于中档题．