Question

7．某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的产品，每盒亏损5元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了150盒该产品，以x（单位：盒，100≤x≤200）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；
（Ⅱ）将y表示为x的函数；
（Ⅲ）根据频率分布直方图估计利润y不少于1350元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数．
（Ⅱ）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，当100＜x≤200时，y=10x-5（150-x）=15x-750，当150＜x≤200时，y=10×150=1500，由此能将y表示为x的函数．
（Ⅲ）由利润不少于1350元，得150x-750≥750，由此能求出利润不少于1350元的概率．

解答 解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：最大需求量为150盒的频率为0.015×20=0.3．
这个开学季内市场需求量的众数估计值是150．
需求量为[100，120）的频率为0.005×20=0.1，
需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，
需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，
需求量为[160，180）的频率为0.0125×20=0.25，
需求量为[180，200）的频率为0.0075×20=0.15，
则平均数：$\overline{x}$=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．
（Ⅱ）因为每售出1盒该盒饭获利润10元，未售出的盒饭，每盒亏损5元，
所以当100＜x≤200时，y=10x-5（150-x）=15x-750，
当150＜x≤200时，y=10×150=1500，
所以y=$\left\{\begin{array}{l}{15x-750，100≤x≤150}\\{1500，150＜x≤200}\end{array}\right.$，x∈N．
（Ⅲ）因为利润不少于1350元，
所以150x-750≥750，解得x≥140．
所以由（Ⅰ）知利润不少于1350元的概率p=1-0.1-0.2=0.7．

点评 本题考查平均数、函数表达式、概率的求法，考查频率分布直方图的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．