Question

10．设x，y，z∈R⁺，$a=x+\frac{1}{y}，b=y+\frac{1}{z}，c=z+\frac{1}{x}$，则a，b，c三数（　　）

• A． 都小于2
• B． 都大于2
• C． 至少有一个不大于2
• D． 至少有一个不小于2

Answer 1

分析 将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出a，b，c的范围．

解答 解：∵a+b+c=x+$\frac{1}{y}$+y+$\frac{1}{z}$+z+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$+2$\sqrt{y•\frac{1}{y}}$+2$\sqrt{z•\frac{1}{z}}$=6，当且仅当x=y=z=1时取等号
∴a，b，c至少有一个不小于2．
故选D．

点评 本题考查了基本不等式的性质、反证法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．