Question

已知函数f（x）=m-|x-1|-2|x+1|．
（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若二次函数y=x²+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,二次函数的性质

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由二次函数y=x²+2x+3=（x+1）²+2在x=-1取得最小值2，f（x）在x=-1处取得最大值m-2，故有m-2≥2，由此求得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当m=5时，f(x)=

3x+6，x＜-1 -x+2，-1≤x≤1 4-3x，x＞1

，由f（x）＞2可得

x＜-1 3x+6＞2

 ①，或

-1≤x≤1 -x+2＞2

 ②，或

x＞1 4-3x＞2

 ③．
解①求得-

4

3

＜x＜-1，解②求得-1≤x＜0，解③求得x∈∅，
易得不等式即4-3x＞2 解集为x∈(-

4

3

，0)．
（2）由二次函数y=x²+2x+3=（x+1）²+2，该函数在x=-1取得最小值2，
因为f(x)=

3x+1+m，x＜-1 -x-3+m，-1≤x≤1 -3x+m-1，x＞1

在x=-1处取得最大值m-2，
所以要使二次函数y=x²+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m-2≥2，
求得m≥4．．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．