Question

已知函数f（x）=

2x+a

2x+1

（a∈R），
（1）确定实数a的值，使f（x）为奇函数；
（2）在（1）的基础上，判断f（x）的单调性并证明；
（3）在（1）的基础上，求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）根据函数的奇偶性得到函数解析式满足的条件，解恒等式，求出a的值；（2）利用函数单调性定义，判断并证明函数的单调性，得到本题结论；（3）对原函数解析式进行变形，变成部分分式，根据指数函数的值域，求出原函数值域，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）=f（x）恒成立．
∵函数f（x）=-

2x+a

2x+1

（a∈R），
∴

2-x+a

2-x+1

=-

2x+a

2x+1

，
∴（a+1）（2^x+1）=0，
∴a=-1．
（2）判断结论：函数f（x）在R上单调递增．
证明：由（1）知：f（x）=

2x-1

2x+1

=1+

-2

2x+1

，
在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（1+

-2

2x2+1

）-（1+

-2

2x1+1

）
=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x2+1)(2x1+1)

．
∵x₁＜x₂，
∴0＜2 x1＜2 x2，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函数f（x）在R上单调递增．
（3）∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1+

-2

2x+1

，
∴2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-2＜

-2

2x+1

＜0，
∴-1＜1+

-2

2x+1

＜1，
∴函数f（x）的值域为：（-1，1）．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性和值域，本题难度不大，属于基础题．