Question

已知数列{a_n}，S_n为其前n项和，且S_n+1=4a_n+2．（n∈N^*），a₁=1，
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求b_n
（2）设c_n=

an

2n

，求证：{c_n}是等差数列
（3）求a_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在数列递推式中取n=n-1得另一递推式，作差后即可得到数列{b_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；
（2）由b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，两边同时除以2ⁿ⁺¹即可证得c_n=

an

2n

为等差数列；
（3）由等差数列的通项公式求得c_n，即可得到a_n．

解答： 解：（1）由S_n+1=4a_n+2，得
S_n=4a_n-1+2（n≥2），
两式作差得：a_n+1=4a_n-4a_n-1（n≥2），
即a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2），
∴b_n=2b_n-1（n≥2）．
由S_n+1=4a_n+2，a₁=1，求得a₂=5．
∴a₂-2a₁=5-2=3，即b₁=3．
∴数列{b_n}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
则bn=3•2n-1；
（2）由b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
又

a1

2

=

1

2

，
∴数列{

an

2n

}构成以

1

2

为首项，以

3

4

为公差的等差数列，
∵c_n=

an

2n

，
∴{c_n}是以

1

2

为首项，以

3

4

为公差的等差数列；
（3）由（2）知，

an

2n

=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3

4

n-

1

4

，
∴an=

1

4

(3n-1)•2n．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系与对称关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．