Question

18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：

（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？
（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；
（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：
①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；
②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；
③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，两个群体中各应抽取多少人．
（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．
（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则X的可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计政府执行此计划的年度预算．

解答 解：（Ⅰ）数据整理如下表：

健康状况	健康	基本健康	不健康尚能自理	不能自理
80岁及以上	20	45	20	15
80岁以下	200	225	50	25

从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，
80岁及以上应抽取：8×$\frac{15}{15+25}$=3人，
80岁以上应抽取：8×$\frac{25}{15+25}$=5人．
（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：
$\frac{15+20+45+20}{600}=\frac{1}{6}$，
用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×$\frac{1}{6}$=11万，
用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为$\frac{11}{400}×100%$=2.75%．
（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，
P（X=0）=$\frac{4}{5}$，
P（X=120）=$\frac{1}{5}×\frac{475}{600}$=$\frac{95}{600}$，
P（X=200）=$\frac{1}{5}×\frac{85}{600}$=$\frac{17}{600}$，
P（X=220）=$\frac{1}{5}×\frac{25}{600}$=$\frac{5}{600}$，
P（X=300）=$\frac{1}{5}×\frac{15}{600}$=$\frac{3}{600}$，
则随机变量X的分布列为：

X	0	120	200	220	300
P	$\frac{4}{5}$	$\frac{95}{120}$	$\frac{17}{600}$	$\frac{5}{600}$	$\frac{3}{600}$

EX=$\frac{0+120×95+200×17+220×5+300×3}{600}$=28，
全市老人的总预算为28×12×66×10⁴=2.2176×10⁸元．
政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．

点评 本题考查分表图、分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列及应用，是中档题，历年高考中都是必考题型之一．