题目内容
3．已知直线l：y=x-1，双曲线c1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，抛物线c2：y2=2x，直线l与c1相交于A，B两点，与c2交于C，D两点，若线段AB与CD的中点相同，则双曲线c1的离心率为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{15}}{3}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
分析 分别联立直线方程和双曲线方程，直线方程和抛物线方程，消去y，运用中点坐标公式，可得AB，CD的中点坐标公式，再由双曲线的基本量a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求值．
解答 解：联立直线l：y=x-1，双曲线c1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
可得（b2-a2）x2+2a2x+a2-a2b2=0，
直线l与c1相交于A，B两点，
可得AB的中点坐标为（-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
联立直线l：y=x-1，抛物线c2：y2=2x，
可得x2-4x+1=0，
直线l与c2相交于C，D两点，
则CD的中点为（2，1），
若线段AB与CD的中点相同，
可得$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$=1，即a2=2b2，
即为a2=2（c2-a2）
即有2c2=3a2，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故选：A．
点评 本题考查直线方程和双曲线方程，抛物线方程联立，注意运用中点坐标公式，考查双曲线的离心率的求法，属于中档题．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{15}{16}$ | B． | $\frac{15}{12}$ | C． | $\frac{13}{8}$ | D． | $\frac{13}{4}$ |
8．对于给定的正整数数列{an}，满足an+1=an+bn，其中bn是an的末位数字，下列关于数列{an}的说法正确的是（ ）
| A． | 如果a1是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}必有相同的项 | |
| B． | 如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}必没有相同的项 | |
| C． | 如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}只有有限个相同的项 | |
| D． | 如果a1不是5的倍数，那么数列{an}与数列{2n}有无穷多个相同的项． |
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