Question

已知数列{a_n}为等比数列，a₁=1，a₄=8，在a_n和a_n+1之间插入b_n个数得到一个新数列{c_n}，已知b₁=1，{c_n}为等差数列
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，由于a₁=1，a₄=8，利用通项公式可得8=1×q³，解得q=2．即可得出a_n．在a₁与a₂之间插入b₁=1个数x，使得1，x，2，为等差数列，
可得等差数列{c_n}的公差为

1

2

．设b_n=k，利用在a_n和a_n+1之间插入b_n个数得到一个新的等差数列{c_n}，可得2n=2n-1+(k+1)×

1

2

，解得k即可得出．
（2）由（1）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=1，a₄=8，
∴8=1×q³，解得q=2．
∴an=2n-1．
在a₁与a₂之间插入b₁=1个数x，使得1，x，2，为等差数列，
则2x=1+2，解得x=

3

2

，因此等差数列{c_n}的公差为

1

2

．
设b_n=k，∵在a_n和a_n+1之间插入b_n个数得到一个新的等差数列{c_n}，
∴2n=2n-1+(k+1)×

1

2

，解得k=2ⁿ-1，
∴b_n=2ⁿ-1．
（2）数列{b_n}的前n项和T_n=

2(2n-1)

2-1

-n
=2ⁿ⁺¹-2-n．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．