Question

已知函数y=f（x）满足f（π-x）=f（x），且当x∈（-

π

2

，

π

2

）时，f（x）=xsinx-cosx，则（　　）

• A、f（2）＜f（3）＜f（4）
• B、f（3）＜f（4）＜f（2）
• C、f（4）＜f（3）＜f（2）
• D、f（4）＜f（2）＜f（3）

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,三角函数的图像与性质

分析：首先根据函数的关系式判断出函数是偶函数，进一步根据函数的导数确定函数的单调性，再根据函数的对称性确定本题的结果．

解答： 解：f（x）=xsinx-cosx，
所以：f（-x）=（-x）sin（-x）-cos（-x）=xsinx-cosx=f（x）
得到函数为偶函数．
当x∈（0，

π

2

）时，f′（x）=xcosx+2sinx＞0，
函数f（x）在（0，

π

2

）上是增函数．
当x∈(-

π

2

，0)时，f′（x）=xcosx+2sinx＜0，
函数f（x）在（-

π

2

，0）上是减函数．
由函数y=f（x）满足f（π-x）=f（x），
所以函数f（x）的图象关于x=

π

2

对称．
所以：函数在x∈(

π

2

，π)上是减函数，函数在x∈(π，

3π

2

)上是增函数．
f（

π

2

）＞f（2）＞f（4）＞f（3）＞f（π）
故：f（2）＞f（4）＞f（3）
故选：B

点评：本题考查的知识要点：三角函数奇偶性及单调性的应用，三角函数的导数的应用．属于中等题型．