Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，边长为1，E为CC₁上一点，且EC=

2

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（1）证明：B₁D₁∥平面BDE；
（2）求二面角E-BD-C大小；
（3）证明：平面ACC₁A₁⊥平面BDE．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用正方体的性质，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理证得结果．
（2）利用线面垂直与线线垂直的转化首先做出二面角的平面角，进一步求出二面角的大小．
（3）利用线线垂直，得到线面垂直，进一步转化为面面垂直．

解答： （1）证明：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，DD₁∥BB₁且DD₁=BB₁
则：四边形DD₁B₁B是平行四边形．
BD∥B₁D₁
B₁D₁?平面BDE，BD?平面BDE，
所以：B₁D₁∥平面BDE．
（2）连接AC和BD交于点O，连接OE，
所以：AC⊥DB，
又EC⊥平面ABCD，DB?平面ABCD
所以：BD⊥平面COE
则：OE⊥BD
则：∠EOC是二面角E-BD-C的平面角．
由于正方体的边长为1，EC=

2

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，
解得：OC=

1

2

AC=

2

2

则：tan∠EOC=1
则：∠EOC=45°
即二面角E-BD-C大小为45°．
（3）在正方体中，A₁A⊥平面ABCD，AC⊥BD，
则：BD⊥平面A₁ACC₁
BD?平面BDE
所以：平面ACC₁A₁⊥平面BDE．

点评：本题考查的知识要点：正方体的性质，线面平行的判定定理，线面垂直与面面垂直之间的转化，二面角的应用及相关的运算问题，属于基础题型．