Question

已知抛物线D：y²=2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线上一动点，Q是圆M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

上一动点，且|PF|+|PQ|最小值为

3 2

2

．
（1）求抛物线D的方程；
（2）已知动直线l过点N（4，0），交抛物线D与A，B两点，坐标原点O为线段NG中点，求证：∠AGN=∠BGN．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定圆心坐标为M（-1，2），半径为

2

2

，将|PF|+|PQ|最小值为

3 2

2

，转化为|PF|+|PM|最小值为2

2

，即|FM|=2

2

，利用两点间距离公式，求出p，就可以求出抛物线D的方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于O为NG之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有：∠AGN=∠BGN，当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），代入抛物线方程得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，由此能够证明：∠AGN=∠BGN．

解答： 解：（1）圆M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

的圆心坐标为M（-1，2），半径为

2

2

，
∵|PF|+|PQ|最小值为

3 2

2

，Q是圆M：（x+1）²+（y-2）²=

1

2

上一动点，
∴当Q、P、F三点共线时，|QF|最小，M、Q、P、F四点共线时，|MF|最小为2

2

，
∴

( p 2 +1)2+4

=2

2

，
∴p=2，
∴抛物线D的方程是y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于O为NG之中点，故当l⊥x轴时，由抛物线的对称性知，一定有：∠AGN=∠BGN，
当l不垂直x轴时，设l：y=k（x-4），
代入抛物线方程得k²x²-4（2k²+1）x+16k²=0，
∴x₁+x₂=

4(2k2+1)

k2

，x₁x₂=16，
∴k_AG+k_BG=

k(x1-4)

x1+4

+

k(x2-4)

x2+4

=0，
∴∠AGN=∠BGN．

点评：本题考查抛物线方程的求法，直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．