Question

对于函数f（x），定义域为D，若存在x₀∈D使f（x₀）=x₀，则称（x₀，x₀）为平衡点，若f（x）=

3x+a

x+b

（f（x）不为常数）的图象上有两个平衡点关于原点对称，则a，b应满足的是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令f（x）=

3x+a

x+b

=x，则

3x+a=x(x+b) x+b≠0

从而得到由韦达定理可得x₁+x₂=-（b-3）=0，△=（b-3）²+4a＞0，x₁•x₂=-a≠-b²；从而解得．

解答： 解：由题意得，
令f（x）=

3x+a

x+b

=x，
则

3x+a=x(x+b) x+b≠0

即x²+（b-3）x-a=0，
则由f（x）=

3x+a

x+b

（f（x）不为常数）的图象上有两个平衡点关于原点对称知，
x₁+x₂=-（b-3）=0，△=（b-3）²+4a＞0，x₁•x₂=-a≠-b²；
则b=3；a＞0且a≠9；
故答案为：b=3；a＞0且a≠9．

点评：本题考查了学生对新定义的接受与转化能力，同时考查了分式方程的根的问题，属于中档题．