Question

已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=

1

f(x)

＞0，g（x）=f（x）+c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数．判断g（x）在[-b，-a]上的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：利用单调性的定义，任取x₁、x₂∈[-b，-a]，且x₁＜x₂，化为已知区间使a≤-x₂＜-x₁≤b，从而由题意化简可得函数的单调性．

解答： 解：任取x₁、x₂∈[-b，-a]，且x₁＜x₂，
则a≤-x₂＜-x₁≤b，
又∵g（x）=f（x）+c（c为常数）在区间[a，b]上是减函数，
∴g（-x₂）＞g（-x₁），
又∵g（x）=f（x）+c，
∴f（-x₂）＞f（-x₁），
又∵f（-x）=

1

f(x)

＞0，
∴

1

f(x2)

＞

1

f(x1)

＞0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
∴g（x₂）＜g（x₁），
∴g（x）在[-b，-a]上也是减函数．

点评：本题考查了学生对新定义的接受能力与转化能力，同时考查了单调性的定义，属于中档题．