Question

已知在△ABC中，AB=1，BC=x，AC=y，∠C=60°，求x²-y²的最大值与最小值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：由正弦定理知x=

2

3

×sinA，y=

2

3

×sin（60°+A），可得：x²-y²=-

2 3

3

sin（2A+60°），由0＜A＜120°，可得2A+60°∈（60°，300°），由正弦函数的性质即可求得x²-y²的最大值与最小值．

解答： 解：由正弦定理知，

1

sin60°

=

x

sinA

=

y

sinB

，A+B=180°-60°=120°，
所以，x=

2

3

×sinA，y=

2

3

×sin（120°-A）=

2

3

×sin（60°+A），
即有：x²=

4

3

sin²A，y²=

4

3

sin²（60°+A），
所以可得：x²-y²=

4

3

×[sinA+sin（60°+A）][sinA-sin（60°+A）]
=

4

3

×[2sin（a+30°）cos（-30°）][2cos（A+30°）sin（-30°）]
=-

2 3

3

sin（2A+60°）
∵0＜A＜120°，
∴2A+60°∈（60°，300°），
∴sin（2A+60°）的最小值是-1，最大值是1，
所以X²-Y²的最大值是

2 3

3

，最小值是-

2 3

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．