Question

如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形的对角线的一半，构成正方形…如此形成一个边长不断缩小的正方形系列．
（1）求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列；
（2）从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的应用

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）确定M₁=1，M₂=(

2

2

)2=

1

2

，…，M_n=(

1

2

)n-1，可得数列是一个等比数列；
（2）利用等比数列的求和公式，即可求这10个正方形面积的和．

解答： 解：（1）设原正方形面积为M₁，新的正方形面积依次为M₁，M₂，…，
易知：M₁=1，M₂=(

2

2

)2=

1

2

，…，M_n=(

1

2

)n-1，
∴数列是一个等比数列．
（2）M₁+M₂+…+M₁₀=

1•[1-( 1 2 )10]

1- 1 2

=2[1-(

1

2

)10]．

点评：本题考查等比数列的判断与求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列是等比数列是关键．