Question

已知直线y=kx+1与曲线f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|恰有四个不同的交点，则实数k的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：先研究函数的奇偶性，通过分类讨论，去掉绝对值符号，画分段函数的图象，作出其图象即可得到答案．

解答： 解：函数f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|满足f（-x）=|-x-

1

x

|-|-x+

1

x

|=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=f（x），故函数为偶函数，
只作出x＞0时的图象即可，
当x＞0时，f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=x+

1

x

-|x-

1

x

|=

2x，0＜x＜1 2 x ，x≥1

，
则当x＜0时的图象与当x＞0时的图象关于y轴对称，所以函数f（x）整个函数的图象易得，在同一个坐标系画函数y=f（x）与直线y=kx+1的图象如下：

由于直线y=kx+1经过定点A（0，1），要使直线y=kx+1与曲线f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|恰有四个不同的交点，
∴当过A点的直线m与曲线y=-

2

x

相切或直线m与曲线y=

2

x

相切时有4个交点，即有四个公共点，
设切点坐标为：（x₀，y₀），则k=（-

2

x

）′|x=x₀=

2

x02

，
∴y₀=-

2

x0

=kx₀+1=

2

x02

•x₀+1，解得；x₀=-4，
∴k=

1

8

；
同理，可得另一条相切时斜率为k′=-

1

8

；
当过A点的直线l∥x轴，即其斜率为0时，直线l与曲线y=f（x）|有四个公共点；
综上所述，实数k的取值范围是{

1

8

，0，-

1

8

}．
故答案为：{

1

8

，0，-

1

8

}．

点评：本题考查带绝对值的函数，对于此类题目，去绝对值符号，把函数化为分段函数考虑是解题的关键．